Сколько дверей будут открыты в студенческом общежитии после 20 проходов

[Feral]

Прочитал загадку про студенческое общежитие, где на каждом из 100 этажей есть 100 номеров, и все двери изначально закрыты. Студенты проходят по коридору 20 раз, меняя положение дверей (открытая становится закрытой, закрытая - открытой) на этажах, номера которых делятся на номер прохода без остатка. Не могу понять, как решается эта задача. Сколько дверей будет открыто после 20 проходов?

Сколько стоит установка межкомнатной двери в Туле: выбор оптимального варианта
Сколько весит полотно межкомнатной двери для её установки?

[Эльмира]

Привет! В таких задачах алгоритм прост: дверь изменит свое положение (открыта/закрыта) ровно столько раз, сколько есть делителей у ее номера. Если число делителей четное - дверь закрыта, нечетное - открыта, т.к. изначально все двери закрыты. У квадратных чисел количество делителей нечетно (т.к. корень из такого числа, который на себя же и делится, считается 1 раз). Т.е., открытыми останутся двери с номерами-K^2, где К - целое число. После 20 проходов, это 1^2, 2^2, 3^2,..., до 10^2. Итого, открытыми останутся 10 дверей.

[Ангел]

Привет! В таких задачах алгоритм прост: дверь изменит свое положение (открыта/закрыта) ровно столько раз, сколько есть делителей у ее номера. Если число делителей четное - дверь закрыта, нечетное - открыта, т.к. изначально все двери закрыты. У квадратных чисел количество делителей нечетно (т.к. корень из такого числа, который на себя же и делится, считается 1 раз). Т.е., открытыми останутся двери с номерами-K^2, где К - целое число. После 20 проходов, это 1^2, 2^2, 3^2,..., до 10^2. Итого, открытыми останутся 10 дверей.

Классно разжевал! Было не очень понятно с этими делителями, но с твоей помощью разобрался. Спасибо!

[Кабан]

Такие задачки это весело)) Каждая дверь соответствует номеру комнаты, значит если комната №16, то шагают студенты и меняют ей позицию на 1, 2, 4, 8, 16 проходах. Итого 5 раз - значит она закроется (начинали же с закрытой)). А вот например №49, открывают на 1, 7 и 49 проходах, итого 3 раза, значт остается открытой. Так что все квадратики открыты будут. А значит количество открытых это кол-во квадратов до 100, т.е. 10.

[IvanArcher]

Такие задачки это весело)) Каждая дверь соответствует номеру комнаты, значит если комната №16, то шагают студенты и меняют ей позицию на 1, 2, 4, 8, 16 проходах. Итого 5 раз - значит она закроется (начинали же с закрытой)). А вот например №49, открывают на 1, 7 и 49 проходах, итого 3 раза, значт остается открытой. Так что все квадратики открыты будут. А значит количество открытых это кол-во квадратов до 100, т.е. 10.

Хах, анука поточнее. Ты имел в виду, что открыты будут двери с номерами, кторые имеют нечетное кол-во делителей, правильно? То есть номера, которые являются полными квадратами. Ниче так логику поправлять. ;-)

[василий]

Друзья, посчитаем. Если дверь номер 20, её будут трогать на 1, 2, 4, 5, 10 и 20 проходах – шесть раз всего. Значит, она закрыта. Если взять дверь 25 – то манипуляции проходят на 1, 5 и 25 – открыта. Так что разгадка в том, чтобы найти, какие комнаты имеют нечётное количество делителей. Это только квадраты чисел, их можно перебрать: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100. Получаем 10 открытых дверей. Удачи в решении загадочек!

[LeoSun]

Друзья, посчитаем. Если дверь номер 20, её будут трогать на 1, 2, 4, 5, 10 и 20 проходах – шесть раз всего. Значит, она закрыта. Если взять дверь 25 – то манипуляции проходят на 1, 5 и 25 – открыта. Так что разгадка в том, чтобы найти, какие комнаты имеют нечётное количество делителей. Это только квадраты чисел, их можно перебрать: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100. Получаем 10 открытых дверей. Удачи в решении загадочек!

Спасибо большое! Теперь ясно! Просто не догадался до такой закономерности с делителями и квадратами.